LA PARÁBOLA
La parábola como lugar geométrico
Se define como lugar geométrico de la siguiente manera:
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz
La distancia de la recta D al punto A, es igual a la distancia del punto A al punto f, es decir: 
= 
Siendo la recta D, la directriz; f, el foco y A un punto cualquiera de la parábola.
La parábola, a diferencia de las demás cónicas (elipse, hipérbola y circunferencia), no tiene centro, por lo que el punto más importante para definir la ecuación de la parábola es el vértice V. Convencionalmente las coordenadas del vértice se representan como (h, k), siendo h y k las coordenadas x y y respectivamente
La distancia entre el vértice V y el foco f , es representado comúnmente con el parámetro p.
La cuerda C C’ que pasa por el foco, se conoce como lado recto de la parábola y su longitud es el cuádruplo de p, es decir : Lr = 4p
Fórmula de "entrada" o forma vértice-4P (longitud del lado recto) de la ecuación de la parábola
Dada la siguiente parábola con vértice en el origen V(0, 0)
En donde:
D: es la directriz cuya ecuación es: x = – p ó x + p = 0
P: es un punto cualquiera de la parábola y tiene coordenadas P (x, y)
f: es el foco de la parábola y sus coordenadas son: f(p, 0)
Por definición: 
= 
, con lo que:
x + p =
x2 +2px+p2 = x2 – 2xp + p2 + y2 simplificando términos, ordenando y despejando y2, se tiene:
y2 = 4px,que es la ecuación de la parábola con eje focal horizontal y con vértice en el origen.
Una parábola puede tener su eje focal en posición vertical, horizontal u oblicua. Por ahora sólo se estudiarán los dos primeros casos, con los cuales la ecuación es:
x2 = 4py ; para la parábola vertical con vértice en el origen.
y2 = 4px ; para la parábola horizontal con vértice en el origen.
De la misma manera, las ecuación de la parábola con vértice fuera del origen es:
( y – k )2 = 4p(x – h) ; para la parábola horizontal vértice fuera del origen.
(x – h) 2 = 4p( y – k ) ; para la parábola vertical vértice fuera del origen
El valor de p, puede ser positivo o negativo en cuyo caso cambiaría la dirección de
la concavidad de la parábola.
Así, para:
p > 0, la parábola abre hacia la derecha si es horizontal o hacia arriba si es vertical;
p < 0, la parábola abre hacia la izquierda si es horizontal o hacia abajo si es vertical.
Ejemplo 1
Determine la ecuación general de la parábola con vértice en el origen, eje focal horizontal y el valor de p es –3.
Como se trata de una parábola horizontal con vértice en el origen, es de la forma y2 = 4px, por lo que se hace la sustitución del valor de p.
y2 = 4(–3)x;
y2 = –12 x;
y2 +12 x = 0; que es la ecuación general de la parábola
La gráfica es:
Abre hacia la izquierda porque el valor de p es negativo.
La ecuación de la directriz es: x = 3 ó x –3 = 0
Obtención de la ecuación de la parábola dadas sus condiciones geométricas
Al igual que en todos los elementos de estudio de la Geometría Analítica, la ecuación de la parábola puede obtenerse a partir de una serie de condiciones geométricas o datos diversos dados en un problema. A continuación se ejemplifican algunos de los casos más comunes
Ejemplo 1: se conocen las coordenadas del vértice y el foco
Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en V(–2, 4) y foco en f(–2, 2).
De acuerdo con la información, la parábola es vertical y abre hacia abajo, por lo que el parámetro p será negativo y tiene una magnitud de 2 unidades (puesto que es la distancia entre el vértice y el foco), por lo que la ecuación es:
V(–2, 4); p = –2, por lo que
(x+2)2 = 4(–2) (y – 4 ) ; de donde se obtiene:
x2 +4x +4 = –8y +12
x2 +4x +8y –8 = 0; que es la ecuación buscada.
La directriz se encuentra a 2 unidades (ya que p = 2) de hacia arriba del vértice, por lo que su ecuación es: y = 6 ó y – 6 = 0
Gráfica de la parábola dada su ecuación general
Para graficar la parábola es necesario conocer las coordenadas del vértice y del foco, así como el valor del parámetro p. Para ello se utiliza comúnmente el método de completar cuadrados.
Ejemplo
Exprese la ecuación en su forma paramétrica, obtener las coordenadas del vértice, el valor de p y graficar la parábola cuya ecuación general es: x2 +4x +16y +4 = 0
Ecuación dada: x2 +4x +16y +4 = 0
Reordenando términos:
x2 +4x = – 16y – 4
Completando el trinomio:
x2+4x + 4 = – 16y – 4 + 4
( x + 2)2 = –16y
o bien: ( x + 2)2 = –16(y – 0)
Con lo que: h = –2; k = 0, es decir: V(–2, 0 ) y 4p = –16 ó p = – 4
La grágfica es la siguiente:
Consulta la sección de ejercicios propuestos
